03 octubre, 2013

La Geometría proyectiva y el Capital financiero: Poncelet, Leibniz y Mandelbrot.

La proyección de Poncelet, en la mónada de Leibniz.

Hay “otro” estadístico, distinto al estadístico del estadista Napoleón y del estadista Herodes. Es el estadístico Poncelet. Para Napoleón, Poncelet estaba muerto después de la batalla.  Pero si Poncelet fue olvidado en su celda por el ejército de Napoleón, Desargues fue olvidado por el ejército de científicos dirigidos por el racionalista Descartes.
Desargues (1591-1661) es un referente para la geometría de Poncelet, pero fue ensombrecido por la sombra de un gran pensador: Descartes. Descartes está del lado napoleónico, mientras que Desargues está en el lado de Poncelet. Mientras que Descartes festejó la carta del espacio de coordenadas, Desargues jugó el espacio de los afectos. Descartes publicó en un apéndice del “Discurso del Método” su ensayo sobre “Geometría analítica”. En el cual desarrolla las bases de un análisis de las figuras planas de la geometría euclídea pero dentro de un marco de referencia que es el plano de coordenadas formado por los dos ejes. Esta representación espacial de las figuras en un espacio de coordenadas cartesianas, permite utilizar la herramienta matemática de los polinomios para describir la ecuación de una función en el plano. De tal modo que las rectas en el plano, se simbolizan por ecuaciones polinómicas de grado uno, y las figuras circulares y cónicas son representadas matemáticamente, por polinomios de grado dos. Así la visión clásica de los griegos sobre el espacio y las figuras planas, se transformó  en la visión moderna de los franceses mediante la herramienta del álgebra de ecuaciones polinómicas.
Carlos Ivorra[i] explica muy claro que: “Fermat y Descartes descubrieron que la geometría como teoría lógica es equivalente a una estructura algebraica, (….) de modo que los teoremas geométricos sobre estos conceptos se corresponden con los teoremas algebraicos sobre sus conjuntos asociados. Así surgió la llamada geometría analítica y con ella la clave para una comprensión mucho más profunda de la geometría en general”.
En este sentido conviene añadir, que mientras el álgebra va asociada a la geometría analítica de Descartes, la geometría proyectiva de Desargues irá asociada al desarrollo del cálculo diferencial. El álgebra y sus ecuaciones polinómicas  traducen el espacio cartesiano de la geometría analítica, mientras que el cálculo traducirá el espacio infinitesimal de la geometría proyectiva.  
Leibniz agrupará los conocimientos de la geometría proyectiva y los conocimientos del cálculo diferencial, para elaborar su teoría filosófica de la mónada. En el plano matemático, Leibiniz desarrolla la geometría del sitio, del lugar  o “geometría situs” que propiamente es titulada como “Analysis Situs”. La mejor traducción sería la que integrara el lugar en la situación. Puedo llamarla entonces como geometría de las situaciones. Leibniz y su geometría “situacionista”. A este respecto, el propio Leibniz comenta, en carta[ii] a Huygens del ocho de septiembre de 1769: “Nos hace falta otro análisis propiamente geométrico o lineal que nos exprese directamente la situm, como el álgebra expresa la magnitudem…”.
Sobre la situación, se puede decir que es el lugar como diferente de la posición. Si “la situación” leibniziana procede etimológicamente del verbo “sinere”, “la posición” cartesiana se debe al verbo “posinere”. El verbo posinere lo asociamos al álgebra de las posiciones, mientras que el verbo sinere lo hermanamos al cálculo de las situaciones.
Es impresionante leer a Leibniz cuando, mediante carta de 1673, a Olxenburg (secretario de la Royal Society) se expresa en estos términos: “Como es sabido, lord Brouncker y Nicolás Mercator han encontrado series indefinidas de números racionales para representar el área de la hipérbola referida a sus asíntotas; pero nadie hasta ahora ha podido hacer lo propio para el círculo. Aunque Brouncker y Wallis hayan propuesto sucesiones de números racionales que se acercan cada vez más a su superficie, nadie ha dado una serie indefinida de tal clase de números cuya suma sea exactamente igual a la circunferencia del círculo. Por fortuna para mí, he encontrado una serie que demuestra las maravillosas analogías entre el círculo y la hipérbola y permite trasladar el problema de la triangulación del círculo de la Geometría a la Aritmética de los infinitos, de modo que lo único que hay que hacer ya es perfeccionar la sumación de series”[iii].
 En esta problemática general, Leibniz introduce el problema filosófico-matemático de la cuadratura del círculo. Y esta carta enlaza con otra de Leibniz, donde comenta: “Los que hasta ahora han buscado la cuadratura exacta del círculo no habían visto el camino por el que se puede llegar a ello. Me atrevo a afirmar que soy el primero que lo ha encontrado, y el mismo método me da el medio de obtener geométricamente un arco dado su seno".
Pero aún se encuentra otra carta de Leibniz, que Javier Echevarria[iv] recoge, “Los que han buscado la cuadratura del círculo no han encontrado siquiera las vías para intentarlo. La que presento es prometedora,…” pero Leibniz continua refiriéndose al método con el que Descartes estudia la geometría: “Como mejor se sabe, la mejor vía para que los problemas de geometría puedan ser tratados, consiste en referirlos a los números. Vieta y Descartes han hecho eso en el caso de los problemas rectilíneos, al reducirlos a las ecuaciones del álgebra como si no hubiese que buscar más que números. Pero en el caso de los problemas curvilíneos, cuando se trata de encontrar centros de gravedad y la dimensión de las líneas curvas…todavía no se puede introducir en una ecuación la incógnita que se busca. Y las promesas, demasiado optimistas, del Sr Descartes, quien habla…como si todos los problemas se redujeran a ecuaciones, resultan cortas”.
Y así como Descartes manosea la geometría de forma tosca y bruta, a través de las formas rectilíneas y los ángulos cortantes, Leibniz trata con dulzura la geometría, a través de sistemas curvilíneos y series de infinitesimales. Perdón con dulzura no!, con finura...las curvas son finas pero no dulces, pues pueden ser todo lo abruptas que la Naturaleza quiera. Lebesgue habló de rugosidades de las curvas no diferenciables. Las herramientas para cincelar la geometría de Descartes son las ecuaciones algebraicas, mientras que la espátula de Leibniz es el cálculo inifnitesimal. Del mismo modo, y análogamente, hay dos tradiciones entre los economistas: los del cincel algebraico y los de la gubia infinitesimal. Los primeros, de herencia cartesiana, se mueven en el tejido de coordenadas del equilibrio y la tijera de la producción: la recta oferta y la recta demanda se cortan en un punto inscrito en el mismo espacio como extensión. Los  segundos, deben fijar su mirada en Leibniz, como Mandelbrot como Taleb, su espacio es infinitesimal y las dos rectas de la kínesis económica (oferta y demanda) se cortan en un espacio proyectivo como el pensado por el oficial de Napoleón (Poncelet): es el espacio del capital como recurso financiero y del bien como activo derivado, a la deriva en el océano bursátil.
Leibniz en la misma carta, prosigue: “Allá donde las ecuaciones (de Descartes) fallan, en efecto, la Naturaleza nos ha proporcionado otro medio (…) que consiste en las progresiones de números”. Estas progresiones son las series del cálculo infinitesimal. Son las series de números llevados al infinito que progresan hasta un punto de convergencia llamado límite.
Y Leibniz finaliza, asociando una conceptualización sobre el nuevo método para calcular dimensiones a partir de la suma de una progresión de números llevada al límite, con la nueva metodología de la geometría proyectiva: “La razón por la cual los que han escrito sobre la geometría de los indivisibles y sobre la aritmética de los infinitos no han hecho la misma observación (que Leibniz), estriba en que se está acostumbrado a resolver las figuras únicamente mediante ordenadas paralelas en una infinidad de rectángulos pequeños confluyentes en un punto, mediante ordenadas convergentes. Pues los Señores Desargues y Pascal han hecho bien en tomar las ordenadas, en su forma general,  como líneas convergentes o paralelas, tanto más cuanto las paralelas pueden ser consideradas como una especie de las convergentes, cuyo punto de concurrencia está infinitamente alejado[v].
Leibniz toma como referencia la geometría de Desargues y Pascal, pues ésta noción de proyectividad permite convertir las coordenadas paralelas de Descartes, en coordenadas convergentes de un punto de concurrencia infinitamente alejado: el punto de perspectiva. Para Pascal, esta nueva concepción del espacio como “situs” es denominada “Manière Universelle pour faire la perspective”. La misma “manera” que comentó Jean Du Breuil(1602-1670) en su obra sobre perspectiva[vi]: “on trouve une manière universelle pour pratiquer la Perspective, sans mettre le poinct de distance hors du Tableau, ou champ de l'ouvrage, mise au jour par le Sieur G.D.L.” Ya imaginarán de quien son esas inciales: Girard Desargues Lyonnais. El mismo Desargues, al que Leibniz trató de estudiar a través de los grabados de Abraham De Bosses[vii]. La “manera universal” de esta matemática geométrica del “situs”, suscitara en Leibniz una filosofía sobre las “maneras-del-ser universal”. O lo que es lo mismo, una filosofía de los modos de expresión de la sustancia universal, según el “situs” o el punto-de-concurrencia tomado por las mónadas. Mi impresión es que con Leibniz, el mundo es una curva que deben integrar parcialmente las mónadas desde sus intervalos particulares, en un punto límite que es el punto de concurrencia o el “situs” desde el que cada mónada explica el mundo.
El “situs” nos conduce al punto de vista fugado, que es el punto de concurrencia llevado al infinito. El punto proyectado a un límite, afuera de la misma figura o curva. Antes dijimos, que ese punto de concurrencia fuera de la figura era un punto “impropio” o exterior al plano de la figura. Esa impropiedad del punto de proyección llevado al infinito, lo llamé anteriormente punto de convergencia “virtual”.
Leibniz se centra en el análisis del punto de concurrencia, que recuerda mucho a la idea que Nicolás de Cusa (1401-1484) designa como coincidencia-de-los opuestos. El obispo de Cusa propone un ejemplo[viii] como el de la pintura de un cuadro, en el que hay un personaje que parece como si fijara su mirada  a todos los observadores, estén en cualquier ángulo respecto al plano del cuadro. El espectador de la pintura se mueva hacia donde se mueva se siente perseguido por la mirada del personaje, que paradójicamente está completamente estático y fijo en la pintura. Este análisis del situs de Leibniz es heredero también de toda una tradición en el arte, que nos habla de la perspectiva pictórica.
Pero además, lo interesante del neoplatónico obispo cristiano de Cusa, es que la contradicción se plantea en términos de “oposición” que se supera mediante un afuera: el punto de concurrencia perspectivista. Es un línea de pensamiento, que entiende la superación de los contrarios de forma muy distinta a la que en el futuro Hegel, impondrá con su método dialéctico. Las síntesis como momento de superación de la contradicción tesis/antítesis, es muy distinta a este momento en que se alcanza el “situs” o punto de concurrencia en el punto impropio proyectado al infinito. 
Si el punto impropio de Cusa, define el afuera del procedimiento sintético de convergencia al infinito, el punto propio de Hegel quedará en el interior (adentro) del propio proceso dialéctico de superación de la contradicción. Parece que existen dos modos de objetivizar la Idea, en el sentido hegeliano de Idea y de “objetiva”: una objetividad que permanece en adentro de la Idea en la dialéctica hegeliana y otra objetividad bien distinta, que hay que irla a encontrar afuera de la Idea en el proceso de tomar la perspectiva hasta el punto de convergencia o de concurrencia. Este punto límite, es el punto de convergencia desde donde la perspectiva es alcanzada, pero en el caso de rectas paralelas del plano cartesiano el punto límite en el que se cortarían sería el límite al infinito. No podemos por tanto, tildar de subjetivista al modo clásico, este planteamiento perspectivista de Nicolás de Cusa, que pretende la superación de los opuestos llevando  el punto de convergencia a un “situs” infinito.
Podemos decir que los cuatro años que Leibniz pasó en París (de 1672-1676)[ix], fueron fecundos. Ya que allí se encontró con todo un universo metodológico distinto que era heredero de una tradición antigua. No sólo renacentista, sino también de la edad media. En 1435, el arquitecto italiano Alberti realizó un ensayo titulado “Della pintura” donde hablaba de una pirámide de rayos que proyectaban desde su vértice los rayos luminosos. Esta idea es el principio de la teoría de la perspectiva en el arte renacentista, que enlazará con los estudios sobre pintura de Girard Descargues (1591-1661) como el “Traité de Perspective en peinture”(1636).
Pero Descargues también se dedicó a la arquitectura y en 1639 publicará: “Broullion Project d´une atteinte aux évements des reencontres d´un plan avec un cône”. En 1658, Pascal publica “Essay pour les coniques”. Lo que nos hace intuir que la pirámide de Alberti, es ahora sustituida por el cono de Descargues y Pascal, para explicar la teoría de la perspectiva y del espacio proyectivo. Descargues será conocido finalmente, por el Teorema de la perspectiva, que luego toma su nombre. Aunque merece la pena señalar que también publicó un “Traité des Harmonies Universelles”, por cuanto la armonía universal será uno de los conceptos principales de la teodicea de Leibniz.
Por último, cabe mencionar a Kepler (1571-1630) quien en 1604 introduce la noción de “punto infinito” en relación al problema de la “parábola”. Este concepto es similar al de “punto de concurrencia” de Leibniz, y sirve a Kepler para repensar las figura de un modo distinto hasta el planteado hasta entonces. Su necesidad de este replanteamiento de lo geométrico, es otro: el movimiento de los astros. Kepler piensa entonces, la “parábola” como una variación de la figura de la “elipse”, de cuyos dos puntos focales, uno queda a distancia infinita del otro. Kepler aplica la idea de la geometría perspectiva para traducir una parábola como una elipse con uno de sus focos pensado como punto de convergencia en el infinito. Y así, también la circunferencia es pensada como su contrario: la elipse cuyos dos focos coinciden y se superponen en un proceso de aproximación regresiva al infinito, hasta alcanzar el centro de una circunferencia.
Está clara la influencia del llamado Círculo de Mersenne[x] (1588-1648) sobre el pensamiento de Leibniz. Este círculo francés, parisino, lo constituyeron hombres tan dispares como: Descartes, Descargues y Pascal. Esta tradición del punto de perspectiva y de la geometría proyectiva,  culminará en la figura de Poncelet (el soldado de Napoleón), que en una cárcel de Rusia, la resucitará para la Historia en contra de Hegel y a favor de Leibniz. Del mismo modo, la geometría cartesiana orientará toda la tradición económica neoclásica, mientras que la geometría leibniziana influirá en la nueva economia que estudia el capital gaseoso y el capital plasma, bajo la mirada atenta de hombres como Mandelbrot o Taleb.









[i] Ivorra, Carlos. Ensayo titulado “Geometría”. Departamento de Matemáticas para la Economía y la Empresa. Facultad de Economía. Universidad de Valencia.

[ii] Echevarria, J. “La geometría leibniziana: de la perspectiva al analysis situ”. Fac.Filosofía y CEE San Sebastián. II Congreso de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias. La carta de Leibniz está referenciada como Hd XXXV, vol.2,1 F.119 (RIVAUD Cc2,1227).

[iii] Cita, de la carta de Leibniz, extraída del libro de M. Cisternas. “Veinte matemáticos matemáticos célebres”. Capítulo 6, Newton y Leibniz,

[iv] Echevarria, J. “La geometría leibniziana: de la perspectiva al analysis situ”. La carta de Leibniz está referenciada como Hd XXXV, vol.2,1 F.119 (RIVAUD Cc2,1227).

[v] De “La geometría leibniziana: de la perspectiva al analysis situ”. Carta de Leibniz está referenciada como Hd XXXV, vol.2,1 F.119 (RIVAUD Cc2,1227).

[vi] Del ensayo sobre Arquitectura realizado por Jean-Pierre Manceau (Tours),2011. El título completo de la obra del Padre jesuita De Breuil, es: “La Perspectiva práctica: necesaria para todos los pintores, grabadores, escultores, arquitectos, orfebres, bordadores, tejedores y otros servidores del diseño”.

[vii] J. Echevarria, en su enasyo “La geometría leibniziana: de la perspectiva al analysis situ” comenta que tal tesis fue presentada por él mismo en el Symposium de Seyllac sobre Leibniz, en junio de 1981.

[viii] Ejemplo de N. de Cusa, citado por Deleuze en “Clase I. Exasperación de la Filosofía. El mundo según Leibniz”. 15 de abril de 1980. Recopilada en el libro “El Leibniz de Deleuze” Ed. Cactus. Buenos Aires, 1997.

[ix]   Según cuenta, J. Echevarria, en “La geometría leibniziana: de la perspectiva al analysis situ”.

[x]  J.M. Basint Muñoz, lo comenta en su ensayo “Conocimiento y método, en Descartes, Pascal y Leibniz”. Estudios de la Universidad de Valencia, Facultad de Ingeniería (ETSEI).

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